Аннотация:
Многие принципиальные проблемы, связанные с аналитикой $L$ -функций,
такие как нахождение “сверхвыпуклых” оценок (т.е. оценок их модулей,
более точных, чем те, что напрямую следуют из функционального уравнения
и применения стандартных средств комплексного анализа),
вычисление моментов, необращение в нуль этих функций в критических точках
(вещественных точках критической прямой),
сводятся к оценкам соответствующих тригонометрических сумм. В настоящем
докладе мы расскажем о новых оценках коротких тригонометрических сумм с
фазой, содержащей $p$ -адический сдвиг.
В качестве приложений будут получены “сверхвыпуклые” оценки для $L$ -рядов Дирихле и
скрученных модулярных $L$ -функций с характерами по модулю, равному высокой
степени простого числа, которые являются такими же по силе, как и соответствующие
оценки "по $t$".
С точки зрения аделей, аналогия между этим так называемым "$p$ -адическим" аспектом
и более привычным "$t$ -аспектом" оказывается вполне естественной, если делать акцент
на разветвлении в одной (конечной иди же бесконечной) точке. Среди применяемых нами средств
– $p$ -адический аналог разбиения Фарея, круговой метод
и оценки ван дер Корпута. Некоторые из представленных результатов
заимствованы из нашей совместной работы с В. Бломером.
