Об условных принципах инвариантности для случайных блужданий

Пусть $\{S_n\}$ — случайное блуждание с нулевым сносом и конечной дисперсией, $T$ — момент первого достижения отрицательной полуоси. Приводится новое доказательство принципа инвариантности для процесса $S_{[nt]}/b_n$, $b_n=(\sigma\sqrt n)$, при условии $T>n$, являющееся прямым следствием принципа инвариантности Донскера–Прохорова. Устанавливается также принцип инвариантности при условии $T=n$, доказывается условная версия локальной теоремы Стоуна:
$$ \sigma\sqrt n\,\mathsf P(S_n\in(b_n(x),b_n(x)+\Delta]\mid T>n)=\Delta(xe^{-x^2/2})=o(1) $$
равномерно по положительным $x$, отделенным от $0$, и по положительным $\Delta$, отделенным от бесконечности.