Аннотация:
В докладе изучается классический вопрос о сравнении алгебры Ли дериваций ассоциативной алгебры $A$ с ее подалгеброй внутренних дериваций, так называемая проблема дериваций Джонсона.
Пространство дериваций $Der(A,E)$ из алгебры $A$ в бимодуль $ E$ есть множество отображений
$$ D:A\to E,$$
которые удовлетворяют условию:
$$
D(ab)=D(a)b+aD(b), \quad a,b\in A,
$$
Среди дериваций $Der(A,E)$ выделяются так называемые внутренние деривации
$Int(A,E)\subset Der(A,E)$, которые задаются присоединенным представлением
$$
ad_{x}(a):= xa-ax, \quad x\in E, a\in A.
$$
Проблема дериваций формулируется следующим образом: все ли деривации являются внутренними? Эта задача рассматривалась не для всяких алгебр, а для групповых алгебр $A=C[G]$ некоторой группы $ G$. Более точно, рассматривается групповая алгебра $ \overline A=L^{1}(G)$ и бимодуль $ E=M(G),$ где $ M(G)$ есть алгебра всех ограниченных мер на группе $G$ с операцией умножения, задаваемой сверткой мер.
В литературе встречается вопрос, который формулируется следующим образом: Пусть $ G$ есть локально компактная группа. Всякая ли деривация из алгебры $A=L^{1}(G)$ в бимодуль $ E=M(G)$ является внутренней деривацией? Утвердительный ответ оправдывается следующим соображением.
В случае, когда группа $ G$ является дискретной свободной абелевой группой с конечным числом образующих, т.е. $ G\approx\mathbb{Z}^{n}$, то алгебру
$ \overline A=L^{1}(G)$ можно можно отождествить с алгеброй Фурье $ A(\mathbb{T}^{n})$ непрерывных функций на $ n$–мерном торе $\mathbb{T}^{n},$ коэффициенты Фурье которых образуют абсолютно сходящийся кратный ряд, $A =A(\mathbb{T}^{n})\subset C(\mathbb{T}^{n}),$ (эта алгебра Фурье меньше алгебры всех непрерывных функций). Дериваций на алгебре $ A(\mathbb{T}^{n})$ нет, поскольку в ней достаточно много негладких функций, впрочем и внутренних дериваций тоже нет, поскольку алгебра $ \overline A=L^{1}(G)$ коммутативна.
Нас же интересует не вся банахова алгебра $ \overline A=L^{1}(G),$ а только ее плотная подалгебра $ A=C[G]\subset\overline A$, состоящая, так сказать, из гладких элементов в алгебре $ \overline A=L^{1}(G),$ следуя терминологии А.Кона. Для групповой алгебры $A=C[G]\;$ тоже можно сформулировать аналогичную задачу: описать алгебру всех внешних дериваций групповой алгебры $A=C[G].$
С каждой группой $ G$ мы связываем группоид $G$, ассоциированный с присоединенным действием группы $ G,$ который позволяет выразить деривации групповой алгебры $C[G]$ в виде характеров на группоиде $\Gamma.$ С каждым группоидом,
задаваемым конечно представимой группой, можно, в свою очередь, связать граф Кэли и, более общим образом, двумерный комплекс Кэли.
Мы доказываем, что алгебра внешних дериваций $Out(C[G])=Der(C[G])/ Int(C[G])$ изоморфна одномерной группе когомологий комплекса Кэли группоида $\Gamma$ с конечными носителями,
$$Out(C[G])\approx H^{1}_{f}(K(\Gamma); R).
$$
|
