О плотности орисфер в динамических ламинациях

Существует «словарь» между двумя областями комплексной динамики: теорией Клейновых групп (дискретных групп конформных автоморфизмов сферы Римана) и динамикой итераций рациональных функций на сфере. Этот словарь был введен Д. Сулливаном в начале 1980-х гг. и привёл к замечательным результатам в обеих областях. О некоторых из этих результатов будет рассказано в начале доклада.
Важным объектом для исследования Клейновой группы является ассоциированное трёхмерное гиперболическое многобразие (возможно, с особенностями). Оно является фактором поднятого действия группы на гиперболическом пространстве. Его аналогом в динамике рациональных итераций является гиперболическая ламинация (введенная М. Ю. Любичем и Я. Минским), ассоциированная с рациональной функцией. Грубо говоря, это — «слоение на трёхмерные гиперболические многообразия с особенностями». Не взаимнооднозначная рациональная функция поднимается до гомеоморфизма на пространстве ламинации. Его действие «хорошо» факторизуется и определена фактор-ламинация. Орисфера в гиперболическом пространстве (с отмеченной бесконечностью) — это горизонтальная плоскость (в модели полупространства). Расположение орисфер в фактор-ламинации связано с производными итераций рациональной функции. Тем самым, исследование расположения орисфер может оказаться полезным для исследования динамики самой рациональной функции.
Оказывается, что во «многих» случаях (например, для гиперболических рациональных функций, отличных от степени $z$) все орисферы в фактор-ламинации плотны.