Zeros-distribution of the Riemann zeta-function and universality

В 1975 г. С.М. Воронин открыл свойство универсальности дзета-функции Римана $\zeta(s)$, $s=\sigma+it$, состоящее в том, что широкий класс аналитических функций может быть приближен “сдвигами” вида $\zeta(s+i\tau)$, $\tau\in \mathbb{R}$.
Мы рассмотрим свойство универсальности $\zeta(s)$ в случае, когда параметр $\tau$ принимает значения из множества $\{\gamma_{k}: k\in \mathbb{N}\}$, где $0<\gamma_{1}\le\gamma_{2}\le\dots$ – мнимые части нетривиальных нулей дзета-функции Римана $\zeta(s)$.
Предположим, что неравенство
$$ \mathop{\sum_{\gamma_{l},\gamma_{k} \le T}}\limits_{|\gamma_{l}-\gamma_{k}|<{c\over \log T}}1\,\ll\,T\log T, \quad T\to\infty, $$
имеет место для некоторой постоянной $c>0$. Эта оценка представляет собой ослабленную версию гипотезы Монтгомери о парной корреляции [1].
Пусть $D=\bigl\{s\in \mathbb{C}: \tfrac{1}{2}<\sigma<1\bigr\}$, и пусть $\mathcal{K}$ – класс компактных подмножеств $D$, обладающих связным дополнением. Пусть, далее, $H_{0}(K)$, $K\in \mathcal{K}$, обозначает класс непрерывных функций, не обращающихся в нуль на $K$ и аналитических на внутренности $K$. Тогда имеет место
Теорема. Предположим, что ослабленная гипотеза Монтгомери верна. Пусть $K\in \mathcal{K}$ и пусть $f(s)\in H_{0}(K)$. Тогда для любых $\varepsilon>0$ и $h>0$ справедливо неравенство
$$ \liminf_{N\to\infty} \frac{1}{N} \# \left\{ 1\leqslant k\leqslant N: \sup_{s\in K} |\zeta(s+i\gamma_k h)-f(s)|<\varepsilon\right\}>0. $$

В докладе также будут затронуты вопросы, связанные с приближением аналитических функций вида $F(\zeta(s+i\gamma_{k}h))$, где $F$ принадлежит некоторому классу операторов.
[1] H.L. Montgomery, The pair correlation of zeros of the zeta function. In: Analytic Number Theory, (St. Louis Univ., 1972), H.G. Diamond (ed.), Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, Amer. Math. Soc. Providence, 1973. P. 181 – 193.