On the regular systems

Множество $X\subset \mathbb{R}^{d}$ называется множеством Делоне, если для некоторых положительных $r$ и $R$ выполняются два условия:
(1) шар $B_{y}(r)$ радиуса $r$ с центром в произвольной точке $y\in \mathbb{R}^{d}$ содержит не больше одной точки $x\in X$;
(2) шар $B_{y}(R)$ радиуса $R$ с центром в произвольной точке $y$ содержит хотя бы одну точку $x\in X$.
Множества Делоне представляют вполне адекватную модель атомной структуры произвольного твердого тела. Однако столь хорошо организованные структуры как кристаллы описываются в терминах множества Делоне особого вида, а именно, в терминах множеств Делоне $X$ с транзитивными группами симметрий, то есть с такими группами, в которых для любых точек $x$ и $x'$ из $X$ существует симметрия $g$ множества $X$ такая, что $g(x)=x'$. Множество Делоне с транзитивной группой называется правильной системой.
Локальная теория правильных систем, в частности, была нацелена [1] на то, чтобы вывести существование транзитивной группы для множества Делоне $X$ из попарной конгруэнтности окрестностей некоторого радиуса у точек из $X$. Основная проблема здесь – оценить радиус тех окрестностей, конгруэнтность которых обеспечивает правильность данного множества. Локальная теория непосредственно связана с попыткой объяснить, почему при фазовом переходе из жидкого состояния в твердое атомная структура вещества из аморфного состояния трансформируется в хорошо организованную, периодическую структуру с богатой группой симметрий [2].
Предполагается обсудить несколько основных результатов локальной теории правильных систем [3]-[5].
[1] Б.Н. Делоне, Н.П. Долбилин, М.И. Штогрин, Р.В. Галиулин, Локальный критерий правильности систем точек. Докл. АН СССР. 227:1 (1976). С. 19 – 21.
[2] N.P. Dolbilin, J.C. Lagarias, M. Senechal, Multiregular point systems. Discrete Comput. Geom. 20:4 (1998). P. 477 – 498.
[3] Н.П. Долбилин, Критерий кристалла и локально антиподальные множества Делоне. Труды Международной конференции “Квантовая топология”. Вестник ЧелГУ. 17 (2015). C. 6 –- 17.
[4] Н.П. Долбилин, А.Н. Магазинов, Теорема единственности для локально антиподальных множеств Делоне. Современные проблемы математики, механики и математической физики. II. Сборник статей. Тр. МИАН. Т. 294. М. МАИК. 2016. С. 230 – 236.
[5] N. Dolbilin, Delone Sets: Local Identity and Global Order. Volume dedicated to the 60th anniversary of Professors Karoly Bezdek and Egon Schulte, Springer Contributed Volume on Discrete Geometry and Symmetry. Springer, 2016 (to appear). arXiv: 1608.06842