Математические этюды. Занятие 1: игра Цзяньшицзы и обмотки тора

Игра Цзяньшицзы и обмотки тора. Как ускорить сходимость ряда? Элементы неевклидовой геометрии.
Как видно из заголовков, темы занятий достаточно разнообразны. И основной целью, так сказать, сверхзадачей этого цикла как раз и будет: показать, как взаимосвязаны между собой совершенно разные задачи и разделы математики.
На одном занятии, начинающемся с исследования довольно простой игры, мы плавно перейдем к таким разным понятиям, как золотое сечение, среднее гармоническое и обмотки тора; на другом, начав с понятия бесконечного ряда, постараемся понять, что такое число π и чем оно замечательно. Мы обсудим также вопрос о том, как доказать недоказуемость чего-нибудь (например, Пятого постулата Евклида), и разные другие темы.
Предварительные знания, выходящие за пределы школьной программы, не обязательны. Но желательно знать:
(а) элементы интегрального исчисления (общее представление о том, что такое интеграл, и знание некоторых элементарных интегралов, типа (интеграл от 1/x, интеграл от $sin^2 x$), и т.п.
(б) кое-что из классической планиметрии (в особенности будут использоваться свойства инверсии). Впрочем, тем, кто этого не знает, лекции все равно будут понятны, но таким придется некоторые утверждения принять на веру.

О чем пойдет речь

Игра Цзяньшицзы и обмотки тора. (1) Как выигрывать? (2) Свойства золотого сечения. (3) Свойства гармонического среднего. (4) Обмотки тора.
Как ускорить сходимость ряда? (1) Способы суммирования рядов, и почему этим не следует заниматься. (2) Некоторые приемы ускорения сходимости. (3) Число пи: почему, собственно говоря, так важно знать отношение длины окружности к диаметру?
Элементы неевклидовой геометрии. (1) Как доказать непротиворечивость классической геометрии? (2) Как доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии? (3) Свойства неевклидовой плоскости: орициклы, эквидистанты и прочие звери.