Математика мозга: математические модели в нейронауке. Занятие 1

Всякий раз, когда мы пытаемся количественно описать поведение объектов или систем объектов окружающего нас мира, возникает математическая модель.
Хорошая, годная модель отличается следующими свойствами:

• она значительно проще, чем описываемая ей система;
• однако, она отражает все важные нам аспекты поведения системы;
• она имеет предсказательную силу: будущее, предсказываемое моделью, хорошо согласуется с результатами проверочных экспериментов.

Например, законы Ньютона позволяют построить модель падения яблока на землю. Яблоко заменяется на точку, которая движется с постоянным ускорением в направлении земли. Если нам важно уметь определять мгновенную скорость яблока и время падения, то это прекрасная модель, удовлетворяющая всем вышеперечисленным свойствам.
Работа человеческого мозга неизмеримо сложнее, чем падение яблока. Даже отдельная нервная клетка — нейрон — представляет собой весьма сложную биологическую систему. Однако, оказывается, что всю самую важную его функциональность можно свести к небольшому числу дифференциальных уравнений. Я покажу, как методы качественной теории дифференциальных уравнений (по-простому, теории картинок из стрелочек, нарисованных на плоскости или в пространстве) позволяют делать верные предсказания о поведении нейронов в ситуациях, ранее не наблюдавшихся экспериментально. Все необходимые сведения про картинки из стрелочек будут рассказаны в процессе курса.
Если останется время, я также планирую разобрать несколько моделей поведения популяций нейронов: возникновение колебательной активности как в смешанных сетях возбуждающих и тормозных нейронов, так и в сетях сплошь из тормозных, а также модель ассоциативной памяти.