Аннотация:
Пусть $X$ — сферическое однородное пространство связной редуктивной комплексной алгебраической группы $G$. (Сферичность означает, что борелевская подгруппа $B\subset G$ действует на $X$ с открытой орбитой.) Предположим, что группа $G$, многообразие $X$ и действие $G$ на $X$ определены над полем действительных чисел $\mathbb R$. Тогда группа вещественных точек $G(\mathbb R)$ действует на множестве вещественных точек $X(\mathbb R)$ уже, вообще говоря, не транзитивно, но с конечным числом орбит, и
естественная задача состоит в классификации этих орбит. Классический пример: действие группы $G = \mathrm{GL}_n$ на многообразии $X$ невырожденных квадратичных форм от $n$ переменных, приводящее к классификации комплексных и вещественных квадратичных форм относительно линейных замен
переменных.
Недавно докладчик рассказывал о решении задачи классификации вещественных орбит для симметрических пространств (http://halgebra.math.msu.su/Lie/2016-2017/16-11-2016.html). В настоящем докладе будет дано решение задачи в случае, когда группа $G$ расщепима над $\mathbb R$ (к которому относится и вышеприведённый пример). Оказывается, $G(\mathbb R)$-орбиты на $X(\mathbb R)$ взаимно однозначно соответствуют орбитам некоторой конечной группы Кокстера (так называемая «малая группа
Вейля» многообразия $X$) на множестве открытых $B(\mathbb R)$-орбит или, что
эквивалентно, на множестве $T(\mathbb R)$-орбит вещественных точек некоторой $T$-орбиты, называемой «плоскостью» (flat) или «слайсом Бриона–Луны–Вюста–Кнопа», в открытой $B$-орбите, где $T\subset B$ — расщепимый максимальный тор. Доказательство основано на следующих трёх соображениях:
1) всякая $G(\mathbb R)$-орбита в $X(\mathbb R)$, будучи открытой в классической топологии, пересекает открытую $B$-орбиту в $X$ по нескольким открытым $B(\mathbb R)$-орбитам;
2) действие минимальных параболических подгрупп в $G(\mathbb R)$ на $B(\mathbb R)$-орбиты позволяет определить на множестве $B(\mathbb R)$-орбит в $X(\mathbb R)$ «операторы простых отражений», последовательное применение которых позволяет в конечном итоге «размазать» $B(\mathbb R)$-орбиту в $G(\mathbb R)$-орбиту;
3) имеется соответствие между $B(\mathbb R)$-орбитами и компонентами связности множества вещественных точек поляризованного кокасательного расслоения к $X$, аналогичное комплексному случаю (теория Кнопа), которое позволяет склеить операторы простых отражений в действие группы Вейля.
См. также
|
