Дифференциальные игры и параметрически выпуклый анализ

Дифференциальные игры (ДИ) – раздел математической теории управления. В рамках теории ДИ рассматриваются задачи построения оптимальных стратегий управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, содержащими управления игроков. При выборе своего управления в каждый момент времени каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о состоянии системы. Для каждого игрока задан функционал выигрыша, значение которого этот игрок стремится максимизировать. Одним из наиболее естественных принципов оптимальности является принцип индивидуальной полезности (равновесие Нэша). Наиболее разработанной областью теории ДИ является теория ДИ с нулевой суммой (теория антогонистических ДИ), в которой рассматриваются ДИ двух игроков, имеющих противоположные интересы (сумма их функционалов выигрыша равна нулю). В случае ДИ с нулевой суммой равновесная по Нэшу пара стратегий составляет седловую точку функционала выигрыша. Задачи ДИ с нулевой суммой ранее рассматривались в связи с военной тематикой. Затем методы этой теории стали применяться к задачам оптимального управления в условиях помех и неопределенности, когда важен гарантированный результат.
Основы теории ДИ с нулевой суммой заложены в 60-70-х годах 20-го века. К классическим методам построения оптимальных стратегий относятся:
метод сингулярных поверхностей Айзекса,
методы решения уравнения Айзекса-Беллмана,
метод альтернированного интеграла Понтрягина,
метод стабильного моста Красовского.
Все эти методы обладают чрезвычайно высокой алгоритмической сложностью и могут быть реализованы лишь для достаточно простых задач низкой размерности. Кроме того, во всех таких методах возникает проблема негладкости функций, что существенно снижает эффективность алгоритмов и зачастую вызывает их неустойчивость. В докладе будет рассказано о новых методах решения задач теории ДИ, основанных на параметрически выпуклом анализе.
Параметрически выпуклый анализ – новый раздел функционального анализа, изучающий свойства сильно и слабо выпуклых множеств и функций. Вводятся параметры, определяющие, насколько множество или функция «сильно» выпукла или насколько она отличается от выпуклой. Сильная выпуклость в задачах ДИ позволяет построить эффективные алгоритмы решения таких задач. С другой стороны, класс слабо выпуклых множеств и функций весьма широк и включает как выпуклые, так и гладкие объекты. Для таких широких классов функций и множеств удается применять методы, которые раньше применялись лишь к выпуклым объектам и тем самым строить эффективные алгоритмы решения широкого класса задач теории ДИ.