О феномене сумм произведений

Пусть $A$ — произвольное конечное множество целых чисел. Рассмотрим сумму и произведение $A$ с собой, а именно, множества
$$A+A := \{c=a+b\,:\,a, b \in A\} \quad \text{и} \quad AA := \{c=ab\,:\,a, b \in A\}.$$

Существуют множества с малой суммой, например, арифметические прогрессии: $P=\{1,\ldots,n\}$, $|P+P| = 2n-1$. Аналогично, геометрическая прогрессия $G=\{2,2^2,\ldots, 2^n\}$ имеет малое произведение: $|GG| = 2n-1$. Гипотеза сумм произведений утверждает, что не существует множеств, имеющих, одновременно, малую сумму и произведение, а именно, для произвольного $\varepsilon>0$ и любых достаточно больших множеств $A$ всегда выполнено
$$\max\{|A+A|, |AA|\} > |A|^{2-\varepsilon}.$$

Приведенное выше неравенство до сих пор не доказано, но даже частичный прогресс в данной области уже привел к существенному продвижению в задачах теории чисел, аддитивной комбинаторики, криптографии, теории динамических систем.
В докладе мы расскажем об основаниях и последних результатах теории сумм произведений.