Аннотация:
Теорема Борсука-Улама в одном из вариантов утверждает, что нечётное
непрерывное отображение n-мерной сферы в n-мерное евклидово пространство
отправляет в нуль две противоположные точки сферы. Несложная надстройка
над этой теоремой показывает, что нечётное непрерывное отображение
n-мерной сферы в m-мерное евклидово пространство (при m<n) отправляет
в нуль некоторое множество, чья (n-m)-мерная мера (в некотором смысле)
не меньше, чем мера (n-m)-мерной сферы.
Громов в 2003 году доказал, что если в предыдущей формулировке отображение
просто непрерывное, но необязательно нечётное, то оно отправляет в одну
и ту же точку некоторое множество F, чья (n-m)-мерная мера (в некотором
смысле) не меньше, чем мера (n-m)-мерной сферы. На самом деле Громов
доказал больше: что всякая метрическая t-окрестность F на n-сфере не
меньше по объёму, чем t-окрестность стандартно вложенной в неё (n-m)-сферы.
Мы обсудим несколько более слабые варианты теоремы Громова о поперечнике
для шаров в пространствах постоянной или ограниченной сверху кривизны.
|
