Как распознать экстремум? Занятие 1

Наши представления о законах природы часто противоречивы. Теория вероятности учит, что все процессы тяготеют к среднему, а экстремальные ситуации крайне редки. Примеры из механики, оптики, биологии, экономики, и т.д. показывают обратное: все процессы происходят по экстремальным траекториям, доставляя экстремальные значения соответствующих величин. Минимизируют — время, расстояния, энергию, энтропию, расходы, риски… Максимизируют — площадь, прибыль, численность популяции… Умение распознавать экстремум и исследовать его свойства необходимо для понимания окружающих процессов.
Первый принцип теории экстремума общеизвестен — производная функции в точке минимума равна нулю. В задачах вариационного исчисления, когда нужно находить уже не точки минимума, а экстремальные функции и траектории, этот принцип превращается в уравнения Эйлера–Лагранжа. А если экстремальные функции ищутся при множестве ограничений на их значения в каждой точке, то мы приходим к оптимальному управлению: динамическому программированию, принципу максимума Понтрягина, и т.д.
Мы пройдем по ключевым этапам, от простых и известных экстремальных задач до самых современных. Увидим как методы теории экстремума работают на классических примерах и сформулируем ряд нерешенных проблем. Примерный план (разбивка — не по лекциям, а по темам):

• Правило множителей Лагранжа: обыкновенное чудо.
• Кривая наискорейшего спуска и задача Плато о минимальной площади обертки. Оптический принцип Бернулли.
• Уравнения Эйлера–Лагранжа. Геодезические на поверхности.
• Аэродинамическая задача Ньютона: 300 лет спустя — всё сначала. Поверхности нулевого сопротивления и невидимые поверхности.
• Что такое оптимальное управление? Принцип максимума.
• Всё оказалось сложнее… NP-сложность вариационных задач. Хаос с точками переключения: феномен чаттеринга и пример Фуллера. Отсутствие оптимальных траекторий, импульсное управление.

От слушателей потребуется пространственное воображение и знакомство с понятиями производной и интеграла. Все остальное мы напомним и повторим.