Вокруг формулы Шлефли. Занятие 4

Предположим, что в пространстве движутся четыре точки, никогда не оказываясь в одной плоскости. В каждый момент времени рассмотрим тетраэдр с вершинами в этих точках. Оказывается, что скорости изменения двугранных углов этого тетраэдра (то есть их производные по времени) удовлетворяют замечательному соотношению
\begin{equation} \sum_{i=1}^6\ell_i(t)\,\dot{\theta_i}(t)=0. \end{equation}
Здесь $\ell_1,\ldots,\ell_6$ — длины рёбер тетраэдра, $\theta_1,\ldots,\theta_6$ — двугранные углы при этих рёбрах, а точка обозначает производную по времени. Это и есть простейший вариант формулы Шлефли. Такому же соотношению удовлетворяют и производные двугранных углов произвольного многогранника, который непрерывно изменяется с сохранением своего комбинаторного типа.
Ещё более интересный вид формула Шлефли принимает, если рассматривать многогранники не в евклидовом пространстве (пространстве нулевой кривизны), а в пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны) или в сферическом пространстве (пространстве постоянной положительной кривизны). В этом случае в правой части формулы Шлефли вместо нуля будет стоять производная по времени объёма многогранника, умноженная на постоянный множитель ±2 (знак равен знаку кривизны). Поэтому формулу Шлефли можно применять для вычисления объёмов некоторых многогранников в неевклидовых пространствах.
Курс доступен школьникам. В частности, не требуется предварительное знакомство с геометрией Лобачевского.