Аннотация:
Гипотеза В.Я.Иврия (1980) утверждает, что в любом бильярде с гладкой
границей множество периодических
орбит имеет меру нуль. Эта гипотеза тесно связана со спектральной
теорией. Ее частный случай для треугольных
орбит был доказан М.Рыхликом (1989 г, в размерности два) и Я.Б.Воробцом
(1994 г., в любой размерности) и
другими математиками. Случай четырехугольных орбит в размерности два был
разобран в совместной работе
Ю.Г.Кудряшова и докладчика (2012 г.) Будет рассказано о недавних работах
докладчика о комплексной версии гипотезы Иврия, с отражениями
относительно голоморфных кривых на комплексной проективной плоскости.
Оказывается, что
гипотеза Иврия, а также родственные ей гипотеза Плахова о невидимости (а
в случае четырех отражений,
и гипотеза Табачникова о коммутирующих бильярдах) имеют одну и ту же
комплексификацию.
Получена полная комплексификация четырехударных комплексных
контрпримеров: четверок голоморфных
кривых, таких что соответствующий комплексный бильярд имеет
двухпараметрическое семейство
четырехугольных орбит. В качестве приложения, доказаны гипотеза
Табачникова и частный случай гипотезы Плахова.
Настоящий доклад будет продолжением предыдущего обзорного доклада по
гипотезе Иврия, с более детальным
изложением результатов о комплексных бильярдах и методах их доказательства.
|
