Аннотация:
Наша цель — изучить поведение спектра задачи Штурма–Лиувилля
$$
-i\varepsilon y'' + q(x)y = \lambda y,
$$
где $\lambda$ и $\varepsilon$ — спектральный и физический параметры соответственно. Предполагается, что потенциал является аналитической функцией с некоторыми дополнительными свойствами, более того, мы будем считать, что $q$ многочлен или целая функция с конечным числом нулей. В случае $q(x)=-\overline{q(-x)}, x\in(-a, a)\subseteq\mathbb R$ получаем задачу для так называемого $PT$-симметрического оператора Штурма-Лиувилля. Задача состоит в том, чтобы понять, как ведет спектр этой задачи при больших и малых значениях физического параметра $\varepsilon$. Основное внимание уделим случаю малого параметра. Мы покажем, что при $\varepsilon\to 0$ спектр задачи концентрируется вдоль некоторых кривых комплексной плоскости, природа которых проясняется при изучении графов Стокса задачи. Будут выделены три типа кривых в комплексной плоскости и показано, что объединение таких кривых образует предельный спектральный граф. Доклад основан на совместных работах с С.Н.Тумановым.
|
