Аннотация:
Пусть $\mathfrak g= \mathfrak g(n,l)$ — свободная $l$-ступенно нильпотентная (нильпотентная класса $l$) вещественная алгебра Ли с образующими $\xi_1,...,\xi_n$ и $G=G(n,l)$ — соответствующая односвязная группа Ли. Положим $x_i=\operatorname{exp} \xi_i$ $(i=1,\ldots,n)$ и рассмотрим полугруппу $B=B(n,l) \subset G$, порождённую однопараметрическими полугруппами $\{x_i^t\,:\,t\geq 0\}$, $i=1,\ldots,n$. Пусть, далее, $\Gamma=\Gamma(n,l) \subset G$ — подгруппа, порождённая элементами $x_1,\ldots,x_n$, и $S=S(n,l)\subset B \cap \Gamma$ — полугруппа (с единицей), порождённая этими элементами. В совместной работе докладчика и Г. Абельса возникла следующая проблема:
Проблема 1. Верно ли, что $S=B\cap \Gamma$?
Это очевидно верно при $l=1$, когда $G$ — векторная группа, а $B$ — координатный ортант. Нетрудно также показать, что это верно при $l=2$, $n=2$, когда $G$ — трёхмерная группа Гейзенберга (а $B$ — так называемый клюв Гейзенберга).
В общем случае проблема представляется весьма сложной. Её решение, видимо, должно включать в себя решение следующей проблемы:
Проблема 2. Дать явное описание полугруппы $B\subset G$ (например, в канонических координатах).
В докладе будет получено такое описание при $l=2$, $n=3$ и будет дана его интерпретация в терминах теории вероятностей.
|
