Инварианты Громова–Виттена и классификационные задачи

В докладе будет обсуждаться теория инвариантов Громова–Виттена и ее приложения.
Инварианты Громова–Виттена выражают ожидаемое число кривых определенного рода и определенной степени, лежащих на многообразии. Эти инварианты удовлетворяют некоторым соотношениям, которые позволяют выразить их через конечное их число. Многочлен, коэффициентами которого являются эти инварианты, удовлетворяет Считающему Дифференциальному Уравнению, которое строится по связности, задаваемой квантовому умножению на антиканонический класс.
Зеркальная симметрия позволяет выдвинуть гипотезу о геометрическом происхождении D-модуля, задаваемого этой связностью, для трехмерных многообразий Фано с одномерной решеткой Пикара. Для проверки этой гипотезы необходимо найти инварианты Громова–Виттена таких многообразий.
Для этого используется описание трехмерных многообразий Фано как полных пересечений в грассманианах различных групп и взвешенных проективных пространствах. Для первого типа многообразий используется квантовая (слабая) теорема Лефшеца и квантовая Формула Шевалле (формула для квантового умножения на элемент группы Пикара). Для второго обобщается теорема Гивенталя, позволяющяя найти инварианты Громова–Виттена для полных пересечений в торических многообразий.