Аннотация:
Изучается поведение спектра задачи Штурма-Лиувилля
$$
\varepsilon y'' +q(x, \lambda) y = 0, \qquad y(a) = y(b) =0,
$$
где $q$ — целая по $x$ и аналитическая по $\lambda$ функция в некоторой области $G \subset \mathbb C$. Здесь $\lambda$
— вообще говоря, нелинейный спектральный параметр, а $\varepsilon$ — физический параметр. Точки $a,\, b$ — призвольные комплексные числа,
одна из которых или обе могут быть равными $\pm\infty$.
Мы покажем, что при $\varepsilon \to 0$ спектр этой задачи локализуется в малой окрестности некоторого множества, называемого нами предельным спектральным графом. Мы найдем уравнения кривых, составляющих предельный спектральный граф и получим формулы распределения собственных значений вдоль этих кривых (аналоги формул квантования Бора-Зоммерфельда, известных для самосопряженных задач Штурма-Лиувилля). Будет показана связь рассматриваемой задачи с известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда. Отдельно будет рассмотрен случай, так называемого $PT$-симметрического потенциала.
|
