Аннотация:
Рассматривается задача Штурма-Лиувилля
$$
\varepsilon y'' +q(x, \lambda) y = 0
$$
где $q$ — целая по $x$ и аналитическая по $\lambda$ функция в некоторой области $G \subset \mathbb C$. Здесь $\lambda$
— нелинейный спектральный параметр (случай $q(x,\lambda) = q(x) -\lambda$ отвечает обычной спектральной задаче), а $\varepsilon$ — физический параметр. Наша цель — изучить поведение спектра этой задачи на отрезке, полуоси, всей оси или кривых в комплексной плоскости
(естественно, в случае отрезка или полуоси ставятся краевые условия).
Мы покажем, что при $\varepsilon \to 0$ спектр этой задачи локализуется в малой окрестности некоторого множества, называемого нами предельным спектральным графом. Мы укажем уравнения кривых, составляющих предельный спектральный граф и получим формулы распределения собственных значений вдоль этих кривых (формулы квантования). Будет показана связь рассматриваемой задачи с известной в гидромеханике задачей Орра-Зоммерфельда (одномерной линеаризацией уранения Навье-Стокса). Отдельно будет рассмотрен случай модельного,
так называемого $PT$-симметрического потенциала.
|
