Геометризация и интегрируемость

Дано многообразие. Можно ли на нем ввести «хорошую» метрику и, если да, то «сколькими способами»? Это один из неформальных вариантов программы геометризации, восходящей к Риману, Клейну и Пуанкаре, но до сих пор не утратившей своей актуальности. В частности, в размерности 3 доказательство Перельманом гипотезы геометризации Терстона стало одним из главных математических событий нашего времени. Этот пример показывает также, что точное определение хорошей метрики может быть ключевой частью вопроса.
С точки зрения теории интегрируемых систем этот вопрос представляется вполне естественным, если понимать хорошую метрику в смысле интегрируемости соответствующего геодезического потока. Я продемонстрирую важность этой точки зрения как для геометрии, так и для теории интегрируемых систем.