Аннотация:
В 1949 году Рохлин опубликовал работу «Об эндоморфизмах компактных коммутативных групп», Изв. АН СССР. Сер. матем., 13:4 (1949). В ней он подвёл первые итоги своих попыток построить инвариант, различающий сохраняющие меру преобразования с одинаковым непрерывным спектром. Этим инвариантом являлось так называемое кратное перемешивание, причём было установлено, что на рассмотренном в этой работе классе преобразований инвариант постоянен. Перемешивание кратности $2$, известное до Рохлина, может пониматься как некое свойство асимптотической независимости (в теоретико-вероятностном смысле) для пар множеств; тогда рохлинское перемешивание кратности $r>2$ должно восприниматься как более полный аналог свойства независимости для наборов из r множеств.
Из статьи В. А. Рохлина видно, что он не только предполагал, что перемешивания разных кратностей суть различные метрические инварианты, но также и то, что кратное перемешивание (в отличие от случая $r=2$) не является спектральным инвариантом. Доказать это ему не удалось. Прошло 60 лет, Эти вопросы так и остались открытыми. Но в эргодической теории появился ряд замечательных результатов о кратном перемешивании и произошли другие важные события, связанные с этой проблематикой. Дело в том, что свойство кратного перемешивания воспринимается интуитивно как очень хорошее (быстрое) перемешивание, а контрпримеры хотелось искать среди систем со слабым, медленным перемешиванием. Первый намек на то, что эта позиция неправильна, появился в работе С. Каликова, который доказал, что перемешивающие системы с хорошей аппроксимацией периодическими преобразованиями обладают свойством кратного перемешивания. Окончательный удар по такому представлению нанес Б. Ост, доказав 20 лет тому назад , что все перемешивающие системы с сингулярным спектром обладают кратным перемешиванием. Несмотря на заметный прогресс в исследовании проблемы Рохлина, в последние годы связанный в основном с теорией самоприсоединений (self-joinings, сплетающих полиморфизмов), интрига остается в силе.
В докладе будет рассказано об этом прогрессе, включающем авторские обобщения теоремы Б. Маркуса о кратном перемешивании орициклических потоков и далеко идущие обобщения упомянутого результата С. Каликова.
Необходимые общие сведения докладчик напомнит в ходе лекции.
Статьи по теме:
|
