Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра

ЧТО ДОКАЗЫВАЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО?
В последнее время все чаще обсуждается вопрос об изменении статуса доказательства и уменьшении нашей уверенности в справедливости результатов. Критика и скептицизм подобного рода наиболее энергично, часто и агрессивно озвучиваются в двух следующих направлениях.
– Сомнения в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера.
– Сомнения в надежности исключительно длинных и сложных доказательств.
Однако я склонен верить, что статус трудных современных результатов — и их доказательств! — мало отличается от статуса трудных математических результатов предшествующих веков. Я готов проиллюстрировать многочисленными историческими примерами, что фактические математические доказательства НИКОГДА — со времен греков — не удовлетворяли декларируемым стандартам. Классические работы, как и публикуемые сегодня, полны заблуждений, ошибок и пробелов разной степени серьезности. Что гораздо хуже, часто эти заблуждения и ошибки из поколения в поколение воспроизводятся в монографиях и учебниках, и их обнаружение в некоторых случаях потребовало многих десятилетий.
Следуя Конфуцию, я приглашаю к вскрытию ошибок, а не к их замазыванию. Нужно честно признать, что математика является человеческой деятельностью, целью и результатом которой является понимание, и мало отличается в смысле своей надежности от других видов человеческой деятельности. Достоверность математического доказательства и его убедительность относится к области психологии и социологии, а не логики.
В отличие от любых доказательств, математическое знание КАК ТАКОВОЕ обладает ЧРЕЗВЫЧАЙНО высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежность естественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индивидуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картины мира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, которое формируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста.
Вот, что знают о доказательстве практикующие математики, но боятся сказать:
– Математическое доказательство, РАССМАТРИВАЕМОЕ КАК ТЕКСТ, не доказывает ничего, кроме факта существования доказательств.
– Ни одно СЕРЬЕЗНОЕ математическое доказательство не может быть полностью формализовано, т.е. записано в соответствии со стандартами, пропагандируемыми математической логикой.
– Доказательство классификации простых конечных групп обладает ГОРАЗДО более высокой степенью достоверности, чем доказательства большинства общепризнанных классических результатов в области топологии, анализа или теории дифференциальных уравнений.
А что касается компьютерных вычислений, то лично я склонен доверять им больше, чем любым математическим доказательствам, КРОМЕ САМЫХ ПРОСТЫХ.

Видеозапись