Некоторые вопросы микрополярной теории упругости

Рассмотрены некоторые вопросы микрополярной теории упругости. В частности, уравнения движения (равновесия) в тензорах напряжений и моментных напряжений трехмерной и двумерной теорий упругости приведены к форме отсутствия объемных нагрузок и инерционных сил (объемных нагрузок). Получена формула, выражающая тензор напряжений через тензор моментных напряжений. Введены в рассмотрение тензоры-функции напряжений.
Уравнения движения в перемещениях и вращениях записаны в операторном виде. В этой связи в случае произвольного анизотропного материала введены в рассмотрение четыре дифференциальных тензора-оператора и из них для различных случаев анизотропии получены выражения соответствующих дифференциальных тензоров-операторов. В основном рассмотрены изотропный, трансверсально-изотропный и ортотропный материалы. Кроме того, введен в рассмотрение матричный дифференциальный тензор-оператор, дифференциальными субтензорами-операторами которого являются введенные выше тензоры-операторы и с помощью которого уравнения движения записаны в виде одного матричного дифференциального тензорно-операторного уравнения. Подробней изучен случай изотропного материала с центром симметрии. В этом случае найдены выражения для дифференциальных тензоров-операторов алгебраических дополнений и определителей введенных выше всех дифференциальных тензоров-операторов кроме одного того тензора-оператора, определитель которого равен нулю. При этом в случае матричного дифференциального тензора-оператора выражения для соответствующего матричного дифференциального тензора-оператора алгебраических дополнений и определителя получены и в том случае, когда внутренний тензор инерции материала является произвольным тензором второго ранга, представленного в главных осях.
Далее введены в рассмотрение дифференциальные тензоры-операторы и матричные дифференциальные тензоры-операторы, которые при применении к соответствующим уравнениям позволяют расщеплять систему уравнений и по отдельности получить уравнения относительно неизвестных векторов-функций (векторов перемещений и вращения). При этом в отличие от представления Галеркина в данном случае граничные условия краевых задач остаются прежними. Даны и представления решений задач Галеркина. Аналогичные изложенным выше вопросы как частные случаи рассмотрены и для классической теории упругости.
Приведены три способа получения формул общего комплексного представления в плоской микрополярной теории упругости с учетом объемных нагрузок при неизотермических процессах. При этом в случае двух способов представления формул даны с помощью двух аналитических функций одного комплексного переменного и общего решения неоднородного уравнения Гельмгольца, а при третьем способе посредством трех аналитических функций одного комплексного переменного.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ, № 08-01-00231-a, № 08-01-00353-а.