Моделирование трехмерных тонких тел с двумя малыми размерами

Рассмотрены классическая параметризация (в качестве базы выбирается центральная линия), параметризация с несколькими базовыми линиями и параметризация при произвольной базовой линии областей криволинейных тонких тел, имеющих два малых размера и поперечное сечение в виде прямоугольника и параллелограмма. При этом в случае классической параметризации и параметризации при произвольной базовой линии поперечные координаты принимают значения из сегмента $[-1,1]$, а при новой параметризации (с несколькими базовыми линиями) — из сегмента $[0,1]$. Выбор таких параметризаций упрощает применение систем ортогональных полиномов Лежандра и Чебышева. Найдены выражения компонент единичного тензора второго ранга (ЕТВР) при этих параметризациях. Среди компонент ЕТВР компоненты переноса занимают особое место. С их помощью осуществляются связи между геометрическими объектами при различных семействах параметризаций. Сформулированы фундаментальные теоремы для областей тонких тел с двумя малыми размерами.
Получены представления градиента, повторного градиента и некоторых других дифференциальных операторов, а также уравнений движения и притока тепла, законов Гука и теплопроводности Фурье, называемых определяющими соотношениями (ОС), моментной механики деформируемого твердого тела. Используя ранее полученные рекуррентные соотношения систем полиномов Лежандра и Чебышева, построены теории моментов относительно этих систем полиномов. В частности, найдены выражения для моментов производных первого и второго порядков тензорной функции и компонент тензоров, а также некоторых дифференциальных операторов от этих величин. При этом разложения величин в ряды Фурье-Лежандра и Фурье-Чебышева производятся как по двум поперечным координатам, так и по одной поперечной координате. Далее, применяя соотношения теории моментов, из представленных уравнений и ОС при рассмотренных параметризациях получены соответствующие соотношения в моментах неизвестных величин относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева второго рода. Кроме того, получены граничные и начальные условия в моментах. Рассмотрены несколько методов редукции бесконечной системы уравнений к конечной системе. В частности, при разложении величин по двум координатам рассмотрены методы нормированных и частично нормированных моментов полей тензоров напряжений и моментных напряжений, а также упрощенный метод редукции бесконечной системы уравнений к конечной системе. При разложении величин относительно одной координаты рассматриваются метод нормированных моментов и упрощенный метод редукции бесконечной системы уравнений к конечной системе.
Даны формулировки постановок связанной и несвязанной динамических задач в моментах приближения $(r,M,N)$ моментной термомеханики деформируемого твердого тонкого тела с двумя малыми размерами, а также нестационарной температурной задачи в моментах приближения $(r,M,N)$ при разложении по двум координатам. Даны аналогичные формулировки задач в моментах приближения $(r,M)$ в случае разложения величин относительно одной координаты.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 08-01-00353-а, № 08-01-00251-а.