Функционально-дифференциальные уравнения — обзор постановок задач и некоторые разультаты

Рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с отклоняющимся аргументом. Отдельные результаты в области ФДУ получены более 200 лет назад в работах И. Бернулли, Л. Эйлера, но систематическое изучение таких уравнения началось лишь в 40-х годах 20-го века одновременно с развитием таких областей науки и техники, в которых учет запаздывания является настоятельно необходимым (В. Вольтерра, А. Д. Мышкис).
Перечислены некоторые приложения дифференциально-разностных уравнений запаздывающего и нейтрального типов в биологии (уравнение В. Лондона и Я. Йорка), в электротехнике (Р. Брайтон, З. Драйвер, В. П. Рубаник), в авиационной технологии (А. Л. Скубачевский).
Характерной чертой, определяющей специфику рассмотренных уравнений, является наличие оператора внутренней суперпозиции. Показано, что краевые задачи для ФДУ нейтрального типа можно свести к операторному уравнению. Анализ результатов исследования уравнений нейтрального типа приводит к выводу, что следует отдельно изучить свойства оператора внутренней суперпозиции и потом исследовать оператор, неподвижными точками которого являются решения данной задачи. Операторное уравнение рассматривается в пространствах функций, суммируемых относительно меры, специально выбранной по виду оператора внутренней суперпозиции. Предлагается конструкция такой меры, рассмотрены ее свойства. На основании этих свойств с помощью известных теорем о неподвижных точках оператора доказаны теоремы о существовании решений операторного уравнения и непрерывная зависимость решения от параметров.