Аннотация:
Пусть Солнце массы 1 и Юпитер массы $\mu\to 0$ движутся по эллиптическим орбитам с эксцентриситетом $\varepsilon$. Эллиптическая задача 3-х тел — $2\pi$-периодическая по времени гамильтонова система, описывающая движение Астероида пренебрежимо малой массы в поле Солнца и Юпитера. При $\mu=0$ задача превращается в задачу Кеплера. В докладе будет предложено описание хаотических орбит эллиптической задачи 3-х тел, которые при $\mu\to 0$ стремятся к цепочкам орбит столкновения задачи Кеплера. Периодические орбиты такого типа рассматривались Пуанкаре для общей
задачи 3-х тел.
При $\mu=\varepsilon=0$ обозначим через $\Omega$ множество пар $(g,h)$ таких, что Кеплерова орбита с угловым моментом $g$ и постоянной Якоби $h$ является эллипсом, пересекающим орбиту Юпитера. При $\mu,\varepsilon\ne 0$ переменные $g$, $h$ не постоянны.
ТЕОРЕМА. {\it Для любого $\rho>0$ существуют $c,\varepsilon_0,\delta>0$ такие, что для любых $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ , $\mu\in(0,\delta\varepsilon)$ и любой последовательности $\rho$-дисков $(B_i)_{i=-\infty}^\infty$ в $\Omega$ существует близкая к столкновениям орбита эллиптической задачи
3-х тел и последовательность $(t_i)_{i=-\infty}^\infty$ такая, что $0<t_{i}-t_{i-1}<c\varepsilon^{-1}$ и $(g(t_i),h(t_i))\in B_i$}.
Таким образом, угловой момент $g(t)$ и постоянная Якоби $h(t)$ «случайно» блуждают в области $\Omega$. Доказательство основано на сведении к динамике композиций нескольких
симплектических отображений кольца, близких к интегрируемым.
Для понимания доклада специальных знаний не потребуется.
|
