Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые cлучаи динамики твёрдого тела

Классический биллиард - это динамическая система, задаваемая движением точки внутри плоской области, упруго отражающейся от границы. Система обладает интегралом – модуль скорости не меняется. Важным случаем являются интегрируемые биллиарды, возникающие при подходящем выборе границы. Например, биллиард в области, ограниченной дугами софокусных квадрик, интегрируем: каждая траектория (или ее продолжение) касается некоторой квадрики, софокусной с семейством границы. В качестве дополнительного интеграла выступает параметр этой квадрики.
Совместные 2-поверхности уровня двух интегралов либо являются двумерными торами, либо их окрестности могут быть описаны как трехмерные "атомы-бифуркации" (при фиксированной энергии). Две интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны, если у них "одинаковые" замыкания интегральных траекторий, то есть существует диффеоморфизм, совмещающий торы Лиувилля сравниваемых систем. Теория Фоменко классифицирует, в частности, интегрируемые системы на изоэнергетических 3-поверхностях при помощи инварианта Фоменко-Цишанга. Применительно к плоским биллиардам вычисление этого инварианта было, в основном, сделано Драговичем и Раднович и в расширенной постановке завершено докладчиком.
Далее, в рассмотрение вводится новый класс обобщенных интегрируемых биллиардов, локально плоских, но вообще говоря не вкладывающихся в плоскость. Грубо говоря, склеиваем плоские области, ограниченные софокусными квадриками, по одинаковым сегментам границы. Возникает биллиард, когда точка, двигаясь по одной области, при попадании на общий сегмент, переходит "в соседнюю" область. Отражение от "свободных" ребёр остаётся прежним. Такие билларды тоже интегрируемы.
Автором полностью классифицированы все обобщенные биллиардные области, и для каждой вычислен инвариант Фоменко-Цишанга. В результате получена топологическая классификация обобщенных биллиардов (с точностью до лиувиллевой эквивалентности). В качестве неожиданного и нетривиального следствия, оказалось, что некоторые обобщенные биллиарды "наглядно" моделируют важные (и достаточно сложные) случаи интегрируемости, например, в динамике твердого тела. Некоторые запутанные и неустойчивые решения таких систем теперь можно наглядно демонстрировать на двумерной биллиардной области с несложной топологией.