Аннотация:
Насколько можно упростить с помощью алгебраических преобразований общее уравнение
$$
x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n=0?
$$
При $n=7$ оно приводится преобразованием Чирнгауза к виду, зависящему от трех параметров,
$$
y^7+py^3+qy^2+ry+1=0.
$$
Возможно ли дальшейшее упрощение, уменьшающее число параметров?
Имея в виду отрицательный ответ на этот вопрос, Д. Гильберт высказал 100 лет назад предположение, что корень уравнения 7-й степени, как алгебраическая функция его коэффициентов, не представляется в виде конечной суперпозиции функций двух переменных (при $n<7$ такое представление возможно). Д. Гильберт ожидал, что в этом утверждении можно ограничиться непрерывными функциями двух переменных, но в 1956–57 гг. А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд показали, что в такой форме утверждение неверно. Однако алгебраическая природа задачи делает более естественным требование алгебраичности рассматриваемых функций двух переменных. Эта точка зрения прослеживается и в более поздней работе Д. Гильберта. Она связана с алгебраическим ядром задачи.
До недавнего времени алгебраический аспект такого рода проблем оставался по существу неисследованным. Однако за последние три года положение изменилось благодаря усилиям З. Рейхштейна, Б. Юсина, Дж. Бюлера и Ж.-П. Серра. Для любой линейной алгебраической группы $G$ (в частности, для любой конечной группы) был введен и исследован новый численный инвариант — существенная размерность. Он часто оказывается равным минимальному числу параметров, необходимых для описания всех алгебраических объектов определенного типа. Например, если $G$ — симметрическая группа $S_n$, то такие объекты — это расширения полей степени $n$; если $G$ ортогональная группа $O_n$, это квадратичные формы от $n$ переменных; если $G$ — проективная группа $\mathrm{PGL}_n$, это алгебры с делением степени $n$; если $G$ — исключительная простая группа типа $G_2$ (соответственно, типа $F_4$), это алгебры октав (соответственно, исключительные йордановы алгебры). Существенная размерность имеет геометрический смысл: она связана с главными расслоениями над алгебраическими многообразиями, на которых действует группа $G$. Для ее вычисления (или оценки) используются методы и результаты современной теории инвариантов, алгебраической геометрии и теории когомологий Галуа. Результаты Ж.-П. Серра и А. Гротендика 50-х годов интерпретируются как классификация групп, существенная размерность которых равна 0. В настоящее время мы знаем о значениях существенной размерности гораздо больше, хотя и далеко не все. В качестве приложений получаются и результаты о невозможности упрощения полиномов с помощью преобразований Чирнгауза.
|
