Полиномиальные расширения дифференциальных колец уравнения Кортевега–де Фриза

Рассмотрим уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) на функцию $u = u(x,t)$
\begin{equation}\label{1} \dot u = 6uu' - u'''. \end{equation}
Введем переменные $t_{2k-1},\, k\geqslant 1,\, \deg t_{2k-1} = 1-2k$, где $t_1 = x$ и $t_3 = t$. Положим $\deg u = 2$, тогда $\deg u^{(s)} = 2+s$, где $u^{(s)} = \frac{\partial^s}{\partial t_1^s}u$.
Пусть $u = u(t_1,t_3,\ldots,t_{2k-1},\ldots)$ – функция, бесконечно дифференцируемая по всем переменным. Говорят, что функция $u$ обладает $k$-той дифференциальной симметрией, если существует однородный полином $Q_{2k} = Q_{2k}(u,u',\ldots,u^{(2k-2)}),\, \deg Q_{2k} = 2k$, такой, что
\begin{equation}\label{2} \frac{\partial}{\partial t_{2k-1}}u = \frac{\partial}{\partial t_1}\, Q_{2k}. \end{equation}

Уравнение \eqref{2} при $k=1$ с $Q_2 = u$ является тавтологией. Уравнение \eqref{2} при $k=2$ с $Q_4 = 3u^2-u''$ следует из уравнения КдФ. Хорошо известно, что решение $u = u(t_1,t_3,\ldots)$ уравнения КдФ обладает $k$-той симметрией для всех $k>2$.
Определение. $g$-тым дифференциальным кольцом уравнения КдФ называется кольцо $\mathcal{K}\mathcal{V}_g = \mathbb{C}[u,u',\ldots,u^{(k)},\ldots]/J_g$, где $J_g$ – идеал $\{\frac{\partial}{\partial t_1}\, Q_{2k},\, k> g\}$.
Пусть $t = (t_1,\ldots,t_{2g-1}),\; \lambda = (\lambda_4, \ldots,\lambda_{4g+2})$ и $\sigma(t;\lambda)$ – сигма функция гиперэллиптической кривой
$$ V_\lambda = \{ (\xi,\eta)\in\mathbb{C}^2 \colon \eta^2 = \xi^{2g+1} + \lambda_4\xi^{2g-1} + \ldots + \lambda_{4g+2} \}. $$

Положим $u_{2k} = -2 \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_{2k-1}}\, \ln \sigma(u),\; k = 1,\ldots,g$. Отметим, что $u_{2k}' = Q_{2k}'$.
Теорема. Для любого $g\geqslant 1$ имеет место вложение $\mathcal{K}\mathcal{V}_g \subset \mathbb{C}[U,U',U''']$ в кольцо полиномов от $3g$ переменных, где $U^{(q)} = \big(u^{(q)} = u_2^{(q)},\ldots,u_{2g}^{(q)}\big),\; q = 0,1,2$.
Доклад посвящен доказательству этой теоремы. Мы обсудим ее приложения и связь с известными результатами. Доклад ориентирован на широкую аудиторию. Он опирается на результаты работ:
[1.] V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, AMS Trans., 179:2, 1997, 1–33.
[2.] В. М. Бухштабер,  Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза., Современные проблемы математики, механики и математической физики. II, Сборник статей, Тр. МИАН, 294, МАИК, М., 2016, 191– 215.
[3.] V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Multi-variable sigma-functions: old and new results., arXiv:1810.11079 v1 [nlin.SI], 25 Oct 2018.