Аннотация:
Комплексное многообразие Грассмана $G_{k+1,q}$ состоит из всех $q$-мерных комплексных векторных подпространств в $\mathbb{C}^{k+1}$.
Каноническое действие алгебраического тора $(\mathbb{C}^*)^{k+1}$ на $\mathbb{C}^{k+1}$ задает его действие на многообразии $G_{k+1,q}$.
Диагональная подгруппа $\Delta \subset (\mathbb{C}^*)^{k+1}$ действует на $G_{k+1,q}$ тривиально, поэтому далее рассматривается эффективное
действие тора $(\mathbb{C}^*)^{k} = (\mathbb{C}^*)^{k+1}/\Delta$.
Будем использовать канонический базис в $\mathbb{C}^{k+1}$. Выбрав базис в $q$-мерном подпространстве $L\subset\mathbb{C}^{k+1}$, запишем его
в виде $(q\times(k+1))$-матрицы $A,\, {\rm rank}\, A = q$. Рассмотрим множество $\mathcal{Y} = \{ J = \{ j_1<\ldots< j_q \} \subset \{ 1,\ldots,k \} \}$.
Используя лексикографический порядок, отождествим $\mathcal{Y}$ с множеством $\{ 1,\ldots,N \}$, где $N = \binom{k+1}{q}$.
Обозначим через $A_J,\, J\in \mathcal{Y}$, матрицу, составленную из $q$ столбцов $a_{j_1},\ldots,a_{j_q}$ матрицы $A$.
Введем вектор плюкеровых координат $P(L) = (P_J(A) = \det A_J,\; J\in \mathcal{Y})$. Он определен однозначно с точностью до общего множителя.
Положим
$$
M_J = \{ L\in G_{k+1,q}\,:\,P_J(A)\neq 0 \},\quad \partial M_J = G_{k+1,q}\setminus M_J.
$$
Множества $M_J$ и $\partial M_J$ являются эквивариантными относительно действия тора $(\mathbb{C}^*)^{k}$.
Пусть $\sigma\in \mathcal{Y}$. Стратом $W_\sigma$ называется $(\mathbb{C}^*)^{k}$-эквивариантное множество
$$
W_\sigma = \big( \cap_{J\in\sigma}M_J \big) \cap \big( \cap_{J'\notin\sigma}\partial M_{J'} \big).
$$
Далее рассматриваются только непустые страты. Среди них находятся главный страт $W = W_\mathcal{Y}$, который является
всюду плотным множеством в $G_{k+1,q}$, и $N$ стратов $W_{\{ J \}}$, каждый из которых является неподвижной точкой
действия тора $(\mathbb{C}^*)^{k}$.
Таким образом, получается $(\mathbb{C}^*)^{k}$-эквивариантное разбиение $G_{k+1,q} = \cup_\sigma W_\sigma$.
К изучению этого разбиения приводят классические и самые современные задачи из различных областей математики.
Для каждого страта $W_\sigma$ определен алгебраический тор $(\mathbb{C}^*)_\sigma^{l}\subset(\mathbb{C}^*)^{k}$, свободно
действующий на $W_\sigma$.
Пространством параметров страта $W_\sigma$ называется пространство орбит $F_\sigma = W_\sigma/(\mathbb{C}^*)_\sigma^{l}$.
В центре внимания доклада будет явное построение вложений $F_\sigma \subset (\mathbb{C}P^1)^{s}$, где $s = s(\sigma)$.
Мы обсудим функториальные свойства этих вложений, которые играют важную роль в описании обсуждаемого разбиения
многообразия $G_{k+1,q}$.
Доклад ориентирован на широкую аудиторию.
|
