Аннотация:
Пусть $M^n$ — гладкое связное замкнутое многообразие размерности $n$. Говорят, что диффеоморфизм $f:M^n\to M^n$ включается в $C^m$-поток на $M^n$, если $f$ является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий этого потока.
Диффеоморфизм $f:M^n\to M^n$ называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если его неблуждающее множество $\Omega_f$ конечно и состоит из гиперболических периодических точек, и
для любых двух точек $p,q\in \Omega_f$ пересечение устойчивого многообразия $W^s_p$ точки $p$ и неустойчивого многообразия $W^u_q$ точки $q$ трансверсально.
Дж. Палис в [1] сформулировал следующие необходимые условия включения диффеоморфизма Морса-Смейла $f:M^n\to M^n$ в топологических поток:
- (1) неблуждающее множество $\Omega_f$ совпадает с множеством неподвижных точек $Fix_f$;
- (2) ограничение диффеоморфизма $f$ на каждое инвариантное многообразие любой неподвижной точки $p\in \Omega_f$ сохраняет его ориентацию;
- (3) если для различных седловых точек $p,q\in \Omega_f$ пересечение $W^s_p\cap W^u_q$ непусто, то оно не содержит компактных компонент связности.
Согласно [1], в случае $n=2$ эти условия являются не только необходимыми, но и достаточными. В размерностях выше двух возникают дополнительные препятствия к вложению диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток, связанные, в частности, с возможностью дикого вложения сфер и компактных дуг, являющихся замыканием сепаратрис седловых периодических точек. В [2] получены необходимые и достаточные условия включения диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности $n=3$. В [3-4] получены достаточные условия включения в топологический поток каскадов Морса-Смейла сферы $S^n$ размерности $4$ и выше в предположении, что инвариантные многообразия различных седловых периодических точек таких каскадов не пересекаются. В этом случае достаточные условия включения в топологический поток совпадают с условиями Палиса, что контрастирует с трехмерной ситуацией.
[1] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems, Topology, 8:4 (1969), 385-404.
[2] В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, О. В. Починка, “О включении диффеоморфизмов Морса–Смейла на 3-многообразии в топологический поток”, Матем. сб., 203:12 (2012), 81–104.
[3] Гринес В. З., Гуревич Е. Я., Починка О. В. О включении диффеоморфизмов Морса-Смейла на сфере в топологический поток Успехи математических наук. 71:6 (2016), 163-164.
[4] Grines V., Gurevich E., Pochinka O. On embedding of multidimensional Morse-Smale diffeomorphisms in topological flows https://arxiv.org/abs/1806.03468, 2018.
|
