Относительная грубость и негрубость в динамике

Грубые (структурно устойчивые) системы можно рассматривать как наиболее простые, наиболее многочисленные динамические системы в соответствующем пространстве динамических систем. Действительно, грубые системы выделяются условиями типа неравенств, и поэтому их естественно рассматривать как наиболее общий случай.
Можно провести далеко идущую аналогию между грубыми динамическими системами и функциями одной переменной, имеющими только простые корни, а также кривыми, не имеющими особенностей, рассматриваемыми в конечной части плоскости. Эта аналогия является, в частности, весьма плодотворной для выработки эффективных методов качественного исследования.
В ряде вопросов представляет интерес рассмотрение относительной грубости, именно грубости по отношению к некоторому классу динамических систем, т.е. по отношению к некоторому подмножеству пространства динамических систем. Таким понятием относительной грубости можно воспользоваться при выделении простейших негрубых систем, т.е. систем первой степени негрубости, а также при классификации негрубых систем по степени сложности, или степени негрубости. Отметим, что с точки зрения такой классификации негрубых систем консервативные системы являются системами бесконечной степени негрубости, другими словами, системами степени негрубости более высокой, чем любая конечная степень негрубости. Таким образом, консервативные системы являются с точки зрения такой классификации чрезвычайно “редкими” системами.
Однако мы можем, рассматривая класс консервативных (или гамильтоновых) систем, ввести понятие грубости системы относительно этого класса. Таким понятием (без термина “грубость”) фактически пользовался Пуанкаре.
Системы первой степени негрубости можно определить как системы, которые являются относительно грубыми во множестве (относительно) негрубых систем (определение будет дано ниже).
Негрубое (относительно негрубое) векторное поле может быть топологически эквивалентно грубому (относительно грубому) векторному полю. Например, на двумерной сфере возможна та ситуация, при которой векторное поле (абсолютно) не грубо, хотя топологически эквивалентно грубому векторному полю.
Основной причиной негрубости в последнем случае является вырожденность производной возле предельного множества.
В случае достаточно гладких динамических систем, требуя у правых частей динамической системы не менее пяти производных, можно определить динамические системы второй степени негрубости как системы, относительно грубые во множестве систем, негрубых и не являющихся системами первой степени негрубости.
Совершенно аналогично можно определить динамические системы 3-й, 4-й, …, $n$-й степени негрубости. Определение вводится индуктивно. В рассматриваемом случае динамических систем с достаточно гладкими (или даже аналитическими) правыми частями вводится определение близости систем.
Таким образом, динамическую систему в дальнейшем назовем системой $n$-й степени негрубости в замкнутой области, если она является негрубой системой, не являющейся негрубой системой степени, меньшей или равной $n-1$, и если она является относительно грубой во множестве негрубых систем, не являющихся негрубыми системами степени, меньшей или равной $n-1$.
Работа посвящена исследованию вопросов относительной структурной устойчивости (относительной грубости) динамических систем, рассматриваемых, не на всем пространстве динамических систем, а лишь на некотором его подпространстве. При этом пространство деформаций (динамических) систем также не совпадает со всем пространством допустимых деформаций. В частности, будут рассмотрены системы дифференциальных уравнений, возникающие в динамике твердого тела и теории колебаний, в которых присутствует диссипация. Показана их относительная грубость, а также, при некоторых условиях, относительная негрубость различных степеней.