Об оценке плотности интенсивности процесса Пуассона

1. Задача. Рассматривается задача оценки функции $\lambda (t)$ на интервале $[a,b]$ по наблюдению процесса Пуассона $X(t)$ с плотностью интенсивности $\varepsilon^{-1}\lambda (t)$. Параметр $\varepsilon$ предполагается известным. Мы рассматриваем асимптотическую постановку задачи при $\varepsilon\to 0$. О функции $\lambda$ предполагается, что она принадлежит заданному классу $\mathcal{A}$ функций, аналитических в известной области $G\supset [a,b]$ комплексной плоскости.
2. Основной результат. Пусть
$$ \Delta_p (\mathcal{A}) =\inf_{\hat\lambda_\varepsilon}\sup_{\lambda\in\mathcal{A}}\bf E_\lambda\{\|\hat\lambda_\varepsilon -\lambda \|_p \},$$
где нижняя грань берется по всем оценкам $\hat\lambda_\varepsilon$. Тогда
$$ \Delta_p (\mathcal{A})\asymp \begin{cases} \sqrt{\epsilon\ln\frac{1}{\epsilon}},\,1\leq p<4;\\ \sqrt{\epsilon\ln\frac{1}{\epsilon}}\sqrt[4]{\ln\ln\frac{1}{\varepsilon}}, \, p=4;\\ \sqrt{\varepsilon}\bigl (\ln \frac{1}{\varepsilon}\bigr )^{(1-2/p)}, \, 4<p\leq\infty . \end{cases} $$