Аннотация:
Электрические сети как предмет изучения был заложен в работах Ома и
Кирхгофа. В простейшем описании это граф с выделенным подмножеством
множества вершин и функцией со значениями в положительных вещественных
числах, заданной на нем. Эта функция называется вектором потенциалов.
По этим данным закон Ома и правило Кирхгофа производят новую функцию
на этом подмножестве-вектор токов. Полученное таким образом линейное
отображение задается матрицей, которую называют матрицей отклика. Это
важнейший инвариант электрических многообразий-кластерных многообразий
определенных электрическими сетями. В этом докладе, основанном на
совместной работе с Дмитрием Талалаевым, мы опишем новый подход к
описанию электрических сетей. Интерпретируя закон Ома как интересное
решение уравнения Янга-Бакстера, мы описываем электрические сети как
вершинные модели статистической физики. Граничная статистическая сумма
нашей модели является новым полным инвариантом электрических сетей, те
воспроизводит матрицу отклика. В таком описании кластерная структура
получается как деформация кластерной структуры обнаруженной
Беренштейном, Фоминым и Зелевинским при изучении многообразий Люстика
связанных с вполне положительностью унипотентных матриц. Мы также
опишем другие новые математические структуры связанные с
электрическими сетями, которые вытекают из нашего описания.
|
