Аннотация:
Подалгебры сдвига аргумента образуют семейство максимальных пуассоново-коммутативных подалгебр в симметрической алгебре $S(\mathfrak g)$ полупростой алгебры Ли $\mathfrak g$, параметризованное регулярными полупростыми элементами алгебры $\mathfrak g$. Они были впервые построены А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко в 1978 году в связи с уравнением Эйлера на группах Ли. Эти подалгебры поднимаются до коммутативных подалгебр в универсальной обёртывающей алгебре $U(\mathfrak g)$; таким образом возникает задача описания спектра этих подалгебр в конечномерных представлениях. Согласно наблюдению Э. Б. Винберга, подалгебра Гельфанда–Цетлина является предельным случаем поднятия алгебры сдвига аргумента в случае $\mathfrak g=\mathfrak{sl}_n$. Поэтому решение задачи о спектре можно считать обобщением и деформацией базисов Гельфанда–Цетлина (но для произвольной полупростой алгебры Ли!). Более точно, результаты В. Шувалова описывают все вырождения подалгебр сдвига аргумента в терминах, аналогичных Гельфанду–Цетлину. В частности, собственный базис для вырожденных подалгебр в конечномерном представлении алгебры Ли согласован с последовательными ограничениями по любой цепочке вложенных подалгебр Леви.
Подалгебры сдвига аргумента допускают обобщение: а именно, существует семейство больших коммутативных подалгебр в любой тензорной степени обёртывающей алгебры $U(\mathfrak g)^{\otimes n}$, зависящее от дополнительных параметров, называемое подалгебрами Годена (поскольку образующие этих подалгебр являются законами сохранения в квантовой магнитной цепочке Годена). Задача о спектре этих подалгебр в тензорном произведении конечномерных представлений алгебры Ли $\mathfrak g$ даёт некоторое замечательное семейство базисов в тензорном произведении.
Изучая вырождения подалгебр сдвига аргумента и подалгебр Годена, можно увидеть естественную структуру кристалла Кашивары на спектре алгебры сдвига аргумента в конечномерном представлении алгебры Ли $\mathfrak g$, согласованную с тензорным произведением. Это имеет приложения к комбинаторным алгоритмам типа Литтлвуда–Ричардсона и Робинсона–Шенстеда–Кнута.
|
