Аннотация:
Обсуждается вопрос об асимптотиках собственных функций оператора $-\nabla D(x) \nabla$ в ограниченной области $X$ с границей $\partial X$ при больших собственных значениях $\lambda$. Предполагается, что $D(x)>0$ внутри $X$ и $D(x) = 0$ на $\partial X$, причем $\nabla D(x) \nabla|_{\partial X} \ne 0$. Стандартные краевые условия при этом не ставятся, их заменяет условие самосопряженности. В теории волн на воде ($X \subset \mathbb{R}^2$) такие собственные функции, описывают, в частности, так называемые волны, захваченные берегами, а функция $D$ определяет дно бассейна. Решение этой задачи в квазиклассическом приближении связано с сингулярными и некомпактными по импульсам лагранжевым многообразиями -аналогами торов Лиувилля геодезического потока на поверхности Лиувилля,
задаваемого гамильтонианом $p^D(x)$ с вырождающейся на границе $\partial X$ метрикой. Примеры таких "торов" получаются в "интегрируемых"ситуациях, например когда имеются дополнительные квадратичные по импульсам интегралы. Для построения соответствующих собственных функций развит метод, основанный на нестандартном фазовом пространстве, модифицированном каноническом операторе, квантовании Фока канонических преобразований, преобразовании Ганкеля и т. д. Предлагается также совсем иной подход к построению асимптотик в таких задачах, перекликающийся с восходящей к Ж. Лере идее униформизации и применении простейшего варианта симплектической редукции Марсдена-Вайнстейна к пространству $T^*M$ с действием группы $\mathbb{S}^1$. Речь идет о построении задачи в пространстве большей размерности, такой, что проектирование решений этой новой "расширенной задачи" на подходящее инвариантное подпространство дает решение исходной задачи. Удивительно простая реализация этой конструкции приводит к полному исследованию асимптотических решений рассматриваемых
задач и простым формулам для этих решений.
|
