Среднее расстояние между случайными точками.

Один из классических вопросов Сильвестра состоит в нахождении вероятности того, что выпукла оболочка четырех точек $X_1, X_2, X_3, X_4$, независимо и равномерно распределенных внутри некоторой выпуклой фигуры $K\subset\mathbb R^2$, является треугольником. Бляшке показал, что
\begin{align}\label{2328} \frac{35}{12\pi^2}\leq\mathbf P[\mathrm{conv}(X_1,X_2,X_3, X_4) \text{ есть треугольник}]\leq\frac{1}{3}, \end{align}
причем нижняя и верхняя оценки являются оптимальными. Несложно видеть, что выполняется соотношение
\begin{align*} \mathbf P[\mathrm{conv}(X_1,X_2,X_3, X_4) \text{ есть треугольник}]=4\frac{\mathbf E\, \mathrm S(\mathrm{conv}(X_1,X_2,X_3))}{\mathrm S(K)}, \end{align*}
где $\mathrm S(\cdot)$ обозначает площадь фигуры. Таким образом, \eqref{2328} эквивалентно
\begin{align*} \frac{35}{48\pi^2}\leq\frac{\mathbf E\, \mathrm S(\mathrm{conv}(X_1,X_2,X_3))}{\mathrm S(K)}\leq\frac{1}{12}. \end{align*}

Если внутри $K$ выбрано только две точки $X_1, X_2$, они формируют случайных отрезок. Каковы точные границы для его средней длины? Если площадь случайного треугольника нормируется площадью $\mathrm S(K)$, то длину случайного отрезка нужно нормировать периметром $\mathrm P(K)$.
В докладе мы покажем, что для произвольной выпуклой фигуры $K\subset\mathbb R^2$ с непустой внутренностью выполнено
\begin{align*} \frac{7}{60}<\frac{\mathbf E \|X_1-X_2\|}{\mathrm P(K)}<\frac{1}{6}, \end{align*}
причем и нижняя, и верхняя оценки являются оптимальными. Мы также обобщим данный результат на многомерный случай.
Доклад основан на совместной работе с Gilles Bonnet, Anna Gusakova, Christoph Thäle.