Аннотация:
Теория разветвленных накрытий многообразий размерности большей 2 началась с знаменитой теоремы Александера (1920): для любого замкнутого ориентируемого PL многообразия $X^N$ существует его кусочно-линейное разветвленное накрытие над сферой $S^N$.
По определению, топологическое (конечнолистное) разветвленное накрытие $f\colon X^N \to Y^N$ — это непрерывное открыто-замкнутое конечнократное отображение связных топологических многообразий без края. Замечательная теорема Чернавского (1964) утверждает, что (A) любое разветвленное накрытие $f\colon X^N \to Y^N$ является глобально конечнократным, т.е. существует $n = \max_{y\in Y}|f^{-1}(y)|$, (B) множество ветвления $\Sigma_f\subset X$ (точки не локального гомеоморфизма) есть замкнутое подмножество коразмерности большей или равной 2, и (С) ограничение ${f|}_{\ldots}\colon X-f^{-1}(f(\Sigma_f)) \to Y-f(\Sigma_f)$ есть настоящее $n$-листное накрытие.
Легко проверить, что для случая замкнутых связных ориентированных многообразий $\deg(f) =\pm n$ (далее мы будем рассматривать только этот случай). Обращая ориентацию, если это нужно, мы можем добиться $\deg f=n$. Таким образом, любое разветвленное накрытие есть доминирование многообразий (по Громову), т.е. отображение ненулевой степени.
Для любого доминирования $f\colon X^N \to Y^N$ отображение рациональных когомологий $f^*$ есть мономорфизм (простое следствие рациональной двойственности Пуанкаре).
Возникает естественный вопрос (А): если дано доминирование $f\colon X^N \to Y^N$, можно ли его прогомотопировать в разветвленное накрытие (естественно, той же степени). Можно задать близкий вопрос (B): если существует доминирование $f\colon X^N \to Y^N$ данной степени $n$, существует ли разветвленное накрытие $g\colon X^N \to Y^N$ той же степени $n$.
До недавних пор, на вопрос (B), в случае односвязной базы $Y^N$, было известно только следующее: Если существует разветвленное накрытие $g\colon X^N \to Y^N$ степени $n$, то $n\ge L(X)/L(Y)$ (оценка Берстейна-Эдмондса, 1978). Здесь через $L(Z)$ обозначена рациональная когомологическая длина пространства $Z$, т.е. максимальное число однородных классов рациональных когомологий положительной размерности, имеющих ненулевое произведение.
В 2018 году докладчиком была получена так называемая $gt_n$-формула, которая для любого разветвленного накрытия $g\colon X^N \to Y^N$ степени $n$ всегда дает или оценку Берстейна-Эдмондса, или, во множестве случаев, строго больше, но не более $n\ge L(X)$.
Доказательство $gt_n$-формулы опирается на возникшую сравнительно недавно в работах Бухштабера-Риса (1996-97, 2004, 2008) и докладчика (2011) алгебраическую теорию $n$-гомоморфизмов Фробениуса.
|
