Теоремы о нормах операторов при ограничении на координатное подпространство

Первые оценки норм конечномерных операторов при соответствующем ограничении на координатное подпространство были установлены в работе Б. С. Кашина 1980 г. В настоящее время результаты такого типа сложились в самостоятельное направление в теории операторов. Результаты окончательного характера известны только в случае операторов, действующих между гильбертовыми пространствами (Лунин, Маркус, Спилман, Сривастава).
В работе [1] получены существенные продвижения для важного в приложениях случая операторов из $l_2^n$ в $l_1^N$.
В работе [2] рассматриваются свойства оператора $S^*_\Phi$, порожденного равномерно ограниченной ортонормированной системой $\Phi$: для $\{a_k\}^N_{k=1}\in\mathbb R^N$
$$ S^*_\Phi(\{a_k\})=f(x)=\sup_{J=J(x)} \Bigl|\sum^J_{k=1}a_k\varphi_k(x)\Bigr|, $$
где $\Phi=\{\varphi_k(x)\}^N_{k=1}$, $x\in X$.

ТЕОРЕМА. Пусть $\rho>4$ и $\Phi=\{\varphi_k(x)\}^N_{k=1}$ – произвольная ортонормированная система со свойствами, указанными выше. Найдется множество натуральных чисел $\Lambda\subset\{1,2,\dots,N\}$ с числом элементов $|\Lambda|\ge N[\ln (N+3)]^{-\rho}$, такое, что для оператора мажоранты частных сумм $S^*_{\Phi_\Lambda}$, где $\Phi_\Lambda=\{\varphi_k(x)\}_{k\in\Lambda}$, имеет место точная оценка нормы:
$$ \|S^*_{\Phi_\Lambda}\colon l^\infty(\Lambda)\to L^2(X)\|\le C\,|\Lambda|^{1/2}. $$