О движении точки по двумерной поверхности

Во многих задачах динамики возникают механические системы с пространствами положений — двумерными многообразиями. Фазовыми пространствами таких систем естественным образом становятся касательные расслоения к ним. Так, например, изучение пространственного маятника на сферическом шарнире в потоке среды приводит к динамической системе на касательном расслоении к двумерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий. В данном случае динамические системы обладают переменной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Известен также класс задач о движении точки по двумерной поверхности, при этом метрика на ней индуцирована евклидовой метрикой всеобъемлющего пространства. В работе показана интегрируемость некоторых классов динамических систем на касательных расслоениях к двумерным многообразиям. При этом силовые поля обладают переменной диссипацией и обобщают ранее рассмотренные.
Как известно, понятие интегрируемости, вообще говоря, достаточно расплывчатое. При его построении необходимо учитывать в каком смысле оно понимается, в классе каких функций ищутся первые интегралы и т.д. В данной работе принимается такой подход, который учитывает в качестве класса функций как первых интегралов трансцендентные функции, причем элементарные. Здесь трансцендентность понимается не в смысле теории элементарных функций (например тригонометрических), а в смысле наличия у них существенно особых точек (в силу классификации, принятой в теории функций комплексного переменного, когда функция имеет существенно особые точки).
Ранее уже была показана полная интегрируемость уравнений пространственного движения тела в сопротивляющейся среде, когда у системы динамических уравнений существует полный набор трансцендентных первых интегралов. Здесь предполагалось, что все взаимодействие среды с телом сосредоточено на той части поверхности тела, которая имеет форму плоского (двумерного) диска. В дальнейших работах была исследована динамическая часть уравнений движения различных динамически симметричных четырехмерных твердых тел, где силовое поле сосредоточено на той части поверхности тела, которая имеет форму двумерного (трехмерного) диска, при этом силовое воздействие сосредоточено на двумерной плоскости (одномерной прямой), перпендикулярной данному диску. При этом рассматриваемые системы в некоторых случаях сводились к системе с диссипацией на касательном расслоении двумерной сферы.
В данной работе сначала рассматриваются уравнения геодезических на касательном расслоении гладкого двумерного многообразия (система в отсутствии внешнего поля сил). Строится переход к удобным координатам касательного пространства. В дальнейшем сначала вводятся внешние силовые поля, которые являются потенциальными, и рассматриваемые системы четвертого порядка обладают полным набором (тремя) гладких первых интегралов. А затем в таких системах вводятся дополнительные члены, в результате чего системы перестают быть консервативными, а точнее, становятся системами с так называемой знакопеременной диссипацией. При этом при некоторых условиях они обладают полным набором (негладких) трансцендентных первых интегралов, в ряде случаев выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.
К примеру, наличие диссипации (вообще говоря, знакопеременной) характеризует коэффициент $bg(\alpha), b>0,$ в первом уравнении следующей системы (при $b=0$ рассматриваемая система является консервативной и обладает полным набором (тремя) гладких независмых первых интегралов). Рассматриваемая система на касательном расслоении $T_*M^2\{z_2,z_1;\alpha,\beta\}$ примет вид

\begin{equation}\nonumber \begin{array}{c} \dot{\alpha}=-z_2+bg(\alpha),\\ \dot{z}_2=F(\alpha)+\Gamma^\alpha_{\beta\beta}(\alpha,\beta)f^2(\alpha)z_1^2, \\ \dot{z}_1=\left[2\Gamma^\beta_{\alpha\beta}(\alpha,\beta)+\frac{d\ln |f(\alpha)|}{d\alpha}\right]z_1z_2,\\ \dot{\beta}=z_1f(\alpha). \end{array} \end{equation}

При некоторых естественных условиях рассматриваемая система обладает полным набором (тремя) независимых трансцендентных первых интегралов.