О стохастической модели Захарова-Львова волновой турбулентности

Теория волновой турбулентности была создана в начале 1960-х годов, чтобы исследовать малоамплитудные решения нелинейных гамильтоновых УРЧП с периодическими краевыми условиями большого периода. С тех пор она интенсивно развивается в физических работах (см, например, книги [1,2]), однако математических результатов, посвященных ее строгому обоснованию, практически нет, несмотря на существенный интерес к этой задаче в сообществе математических физиков. Одним из основных постулатов теории является утверждение о том, что спектр энергии решения изучаемого УРЧП приближенно описывается решением нелинейного кинетического уравнения, которое называют волновым кинетическим уравнением (ВКУ). Спектром энергии здесь называют функцию $n(t,s)$, где $t$ — время, а $s$ — точка на решетке, в точке $(t,s)$ равную усреднению по ансамблю квадрата модуля $s$-ого коэффициента Фурье $v_s$ решения, взятого в момент времени $t$: $n(t,s)=< |v_s(t)|^2 >$, где $< >$ обозначает усреднение по ансамблю. Я расскажу о недавней совместной работе с С.Б. Куксиным (см. [3,4], а также обзор [5]), в которой была предпринята попытка строгого вывода ВКУ для уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, подверженного действию слабого случайного возмущения и вязкости.



[1] V. Zakharov, V. L'vov, G. Falkovich, Kolmogorov Spectra of Turbulence, Springer 1992
[2] S. Nazarenko, Wave Turbulence, Springer 2011
[3] arXiv:1907.04531
[4] arXiv:1907.02279
[5] arXiv:1907.05044