Тайлинговые биллиарды и задача Новикова о плоских сечениях 3-периодических поверхностей

В недавних работах [P.Baird-Smith, D.Davis, E.Fromm, S.Iyer], [P.Hubert, O.Paris-Romaskevich] и др. стали изучаться так называемые тайлинговые биллиарды на периодических покрытиях плоскости. Отличия от классического биллиарда состоит в том, что, во-первых, отражение (вернее, "отражение") происходит в точности в противоположную сторону по сравнению с классическим случаем (то есть на другую сторону "зеркала"), а во-вторых, для определения биллиарда теперь нужен не один "стол", внутри которого все и происходит, а покрытие "столами" всей плоскости. В упомянутых выше работах замечено, что для периодического покрытия плоскости одинаковыми треугольниками тайлинговый биллиард описывается с помощью специальных перекладываний трех отрезков с переворотами, которые появлялись раньше в других задачах, в частности, в задаче С.П.Новикова о сечениях 3-периодических поверхностей. P.Hubert и А.Скрипченко предположили, что такая связь будет и в случае аналогичных перекладываний четырех отрезков. Оказалось, что имеется не только связь через посредство перекладываний, а просто полное совпадение траекторий тайлинговых биллиардов на периодических покрытиях плоскости одинаковыми вписанными четырехугольниками и траекторий в наиболее важном и интересном случае задачи Новикова - роде три при наличии центральной симметрии.