Интегрируемы ли уравнения глубокой воды со свободной поверхностью?

Мы показываем, что уравнения Эйлера, описывающие нестационарное потенциальное течение двумерной глубокой жидкости со свободной поверхностью при отсутствии гравитации и поверхностного натяжения, могут быть точно проинтегрированы при специальном выборе граничных условий на бесконечности, когда жидкость сжимается по автомодельному закону. Вопрос о точной интегрируемости жидкости с естественными граничными условиями на бесконечности остаётся пока открытым, хотя есть сильные аргументы, как аналитические так и полученные в результате численных экспериментов, в пользу этой гипотезы. Самый сильный из них – существование неопределенного (зависящего от выбора начальных условий) числа дополнительных интегралов движения, коммутирующих друг с другом. Другим значительным аргументом является точное сокращение коэффициента нетривиальных четырехволновых взаимодействий. Это сокращение объясняет сильное замедление процесса стохастизации, наблюдавшееся в численных экспериментах еще семидесятых годов прошлого века. Более современные эксперименты показывают аномально долгое существование солитона огибающих (брезера), который в неинтегрируемом случае быстро разрушается. Доказательство интегрируемости уравнений «глубокой воды» было бы открытием совершенно нового класса интегрируемых систем, отличного от уже известных науке.