Инверсная полугруппа классов эквивалентности метрик на дублях

В прошлом году я рассказал на семинаре о наблюдении, состоящем в том, что классы эквивалентности метрик на объединении двух копий метрического пространства $X$ с фиксированной метрикой $d_X$ на каждой копии $X$ образуют полугруппу, причем инверсную, т.е. каждый ее элемент обладает единственным псевдообратным. Сейчас эта инверсная полугруппа более изучена и я готов рассказать о некоторых ее свойствах.