Скрученная теорема Бернсайда–Фробениуса и свойство $R_\infty$ для групп типа ламповых

В работе изучены свойства классов Райдемайстера, то есть классов скрученной сопряжённости, автоморфизмов приведённых сплетений групп вида ${\mathbb{Z}_n \mathbin{\mathrm{wr}} \mathbb{Z}^k}$, что служит частичным обобщением результатов работ [GW,TR]. Получен критерий того, при каких $n$ и $k$ группа обладает свойством $R_\infty$, то есть любой её автоморфизм имеет бесконечное число классов Райдемайстера. При остальных $n$ и $k$ возникают автоморфизмы $\varphi$ с конечным числом Райдемайстера $R(\varphi)$, для которых установлена скрученная теорема Бернсайда"– Фробениуса, утверждающая, что число $R(\varphi)$ равно числу классов эквивалентности конечномерных унитарных неприводимых представлений, неподвижных под действием ${[\rho] \mapsto [\rho \circ \varphi ]}$.
Числа Райдемайстера связаны с числами Нильсена $N(f)$, точнее, для отображения $f$ пространства $X$ в себя выполняется ${N(f)\leqslant R(f_\#)}$, где ${ f_\# \in \pi_1(X) }$, причём для компактного полиэдра $X$ число $N(f)$ совпадает с наименьшим числом неподвижных точек у отображений из класса гомотопии $f$, в частности, если ${N(f)=0}$, то $f$ гомотопно отображению без неподвижных точек. Для пространств типа Джана в случае ${R(f_\#)=\infty}$ выполняется ${N(f)=0}$, таким образом, получение свойства $R_\infty$ для некоторых групп может позволить конструирование многообразий, где каждое отображение гомотопно отображению без неподвижных точек, как, например, в работе [GWCR].
Библиография
[GWCR] D. Goncalves и P. Wong. «Twisted conjugacy classes in nilpotent groups». Journal für die reine und angewandte Mathematik 633 (2009), с. 11—27.
[GW] D. Goncalves и P. Wong. «Twisted conjugacy classes in wreath products». International Journal of Algebra and Computation 16.05 (2006), с. 875—886.
[TR] E. Troitsky. «Reidemeister classes in lamplighter-type groups». Communications in Algebra 47.4 (2019), с. 1731—1741.
Подключиться к конференции Zoom https://us02web.zoom.us/j/86269406493?pwd=TGxKb211SjNNQjJiMjFqNkdtU2ZMUT09
Идентификатор конференции: 862 6940 6493 Код доступа: 461989