Аннотация:
Доклад основан на совместных результатах с Р.А. Козловым и А.С. Панасенко.
Алгебры Гельфанда — Дорфман (GD-алгебры) возникли в задаче построения гамильтоновых операторов в формальном вариационном исчислении.
С формальной точки зрения GD-алгебра — это система с двумя бинарными операциями $(\cdot \circ \cdot)$ и $[\cdot , \cdot]$,
из которых первая удовлетворяет аксиомам алгебры Новикова, вторая – алгебры Ли, а также выполнено тождество
$$
[x,y\circ z]-[z,y\circ x]+[y,x]\circ z-[y,z]\circ x-y\circ[x,z]=0.
$$
GD-алгебра $V$ называется специальной, если она вкладывается в дифференциальную алгебру Пуассона $P$ со скобкой $\{\cdot,\cdot\}$ и дифференцированием $d$
относительно операций $a\circ b = ad(b)$, $[a,b]=\{a,b\}$.
Примерами специальных GD-алгебр являются коммутаторные алгебры Новикова, в которых $[a,b]= a\circ b - b\circ a$.
Структура GD-алгебры на векторном пространстве $V$ (над полем $\mathbb C$) эквивалентна структуре квадратичной конформной
алгебры Ли на модуле $L(V) = \mathbb C[\partial ]\otimes V$.
Одним из открытых вопросов в теории конформных алгебр является существование точного представления конечного типа (аналог теоремы Адо).
Даже для квадратичных алгебр, построенных по конечномерным GD-алгебрам, ответ неизвестен.
Мы устанавливаем связь между алгебрами Пуассона и представлениями конформных алгебр Ли. Используя эту связь, мы доказываем,
что всякая квадратичная конформная алгебра Ли $ L(V)$, построенная на специальной GD-алгебре $V$, вкладывается в ассоциативную
конформную алгебру. В частности, если $\dim V<\infty$, то $L(V)$ имеет точное конформное представление конечного типа.
I. M. Gelfand, I. Ya. Dorfman,
Hamilton operators and associated algebraic structures,
Functional analysis and its application 13 (1979) (4) 13–30.
X. Xu,
Quadratic Conformal Superalgebras,
J. Algebra 231 (2000) 1–38.
P.S. Kolesnikov, R.A. Kozlov, A.S. Panasenko,
Quadratic Lie conformal superalgebras related to Novikov superalgebras,
https://arxiv.org/abs/1912.03943.
Подключиться к конференции Zoom https://us02web.zoom.us/j/86269406493?pwd=TGxKb211SjNNQjJiMjFqNkdtU2ZMUT09
Идентификатор конференции: 862 6940 6493 Код доступа: 461989
