Аннотация:
Мы рассматриваем задачу минимизации функционала $\int_D f(\nablau(x))\,dx$ в классе вогнутых функций $u:d\to\mathbb{R}$, удовлетворяющих условию $0\le u(x)\le M$ где $D\subset \mathbb{R}^2$ – выпуклое тело и $M>0$ – параметр задачи. Заметим, что в частном случае, когда $f(x)=1/(1+x_1^2+x_2^2)$ и $D$ является диском, эта задача служит обобщением аэродинамической задачи Ньютона для класса радиально несимметричных вогнутых функций. Известно, что задача имеет по меньшей мере одно решение. Мы доказываем, что если все точки $\partial D$ регулярны и справедливо предельное соотношение $\frac{(1+|x|)f(x)}{|y|f(y)}\to+\infty$ при $\frac{1+|x|}{|y|}\to 0$, то решение задачи $u$ обращается в ноль на границе $D$. Тем самым, в частности, доказана гипотеза, выдвинутая Buttazzo и Kawohl в 1993 году для обобщенной аэродинамической задачи Ньютона.
