Велосипедная математика в субримановых задачах для колёсных роботов

На семинаре будет рассказано о недавних результатах [1], связывающих субриманову задачу на группе движений евклидовой плоскости с "велосипедной математикой". Эта связь будет продемонстрирована на моделях колёсных роботов с помощью модели велосипеда. Ставится задача поиска кратчайшей траектории для переднего колеса велосипеда, которая соединяет произвольные положения велосипедной рамы на плоскости. Эта задача изоморфна левоинвариантной субримановой задаче на группе движений евклидовой плоскости. Оптимальные траектории для этой субримановой задачи были описаны ранее и соответствуют траекториям заднего колеса велосипеда. Показано, что при этом переднее колесо движется либо по неинфлексионной эластике, либо по прямой. Будет отдельно разобран случай бесконечно оптимальных геодезических (метрических прямых), любые дуги которых оптимальны. С помощью изометрии субриманова многообразия, будет установлена связь между прямой линией, трактрисой и солитоном Эйлера (эластикой в форме одной петли).
[1] A.A., Gil Bor, Enrico Le Donne, Richard Montgomery, Yuri Sachkov, "Bicycle paths, elasticae and sub-Riemannian geometry", https://arxiv.org/abs/2010.04201