Об алгоритмической неразрешимости проблемы вложимости многообразий

Задача классификации алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма является одной из центральных задач алгебраической геометрии. Близкой задачей является задача о вложимости многообразий. В общем виде эта задача формулируется так: Пусть $A$ и $B$ – два многообразия. Определить, существует ли вложение $A$ в $B$.
Пусть многообразия заданы каким-либо конструктивным способом (например, системами уравнений и образующими). Тогда эта задача естественным образом приводит к следующей: придумать алгоритм, позволяющий по заданным многообразиям установить существование вложения (даже без его явного построения) или же отсутствие такового. Иными словами, к вопросу об алгоритмической разрешимости проблемы вложимости.
В 2018 году авторами была установлена алгоритмической неразрешимость проблемы вложимости алгебраических многоообразий над полями нулевой характеристики ([1], [2]). В частности, было установлено, что для случая многообразий над R проблема алгоритмически неразрешима для случая, когда A – аффинная прямая.
В доказательстве указанного результата существенно использовалась техника, связанная с диофантовыми уравнениями и уравнениями Пелля. В рамках этого исследования также были получены новые интересные результаты ([3], [4], [5]).
В частности, первое доказательство алгоритмической неразрешимости проблемы вложимости использовало теорему о строении множества решений уравнения Пелля, доказанную Я. Колларом в начале 2019 года. Доказательство самой теоремы Коллара в общем виде использует достаточно сложную алгеброгеометрическую технику. Однако чуть позже нам, совместно с группой соавторов, удалось получить доказательство нужного нам частного случая теоремы Коллара элементарными методами. Этот результат позволил сделать доказательство алгоритмической неразрешимости проблемы вложимости почти элементарным (по модулю классических результатов Ю. В. Матиясевича ([6])). Примечательным фактом является то, что двое из соавторов доказательства упрощенной теоремы Коллара на момент его публикации были школьниками.
Все вышеуказанные результаты будут представлены в рамках доклада. Работа была поддержана Российским Научным Фондом, Грант N 17-11-01377.


Список литературы
[1] А. Я. Канель-Белов, А. А. Чиликов. "Об алгоритмической неразрешимости проблемы вложимости алгебраических многообразий над полем нулевой характеристики." Матем. заметки, 2019, 106:2, 307-310
[2] А.Я. Канель-Белов, А.А. Чиликов. "Об алгоритмической неразрешимости проблемы вложимости алгебраических многообразий над полем нулевой характеристики", (2018), https://arxiv.org/pdf/1812.01883.pdf, 201
[3] Kollar, J., "Pell surfaces", (2019), https://arxiv.org/pdf/1906.08818.pdf, 2019
[4] Kollar, J., "Pell surfaces". Acta Math. Hungar. 160, 478-518 (2020).
[5] А. А. Чиликов, И. Ефремов, В. Зверик, Н. Хомич. "Комбинаторное доказательство упрощенной теоремы Коллара об уравнениях Пелля." Матем. заметки, 2020, 107:5, 796–800
[6] Ю.В.Матиясевич. "Десятая проблема Гильберта". Москва, Наука, 1993.